Exercice N°3
Soit une poutre droite de section symétrique en « T » soumise à un effort tranchant Ty appliqué en G.
Exprimer la variation des contraintes tangentielles dans la table et dans l’âme de cette section.
Pour engager cette étude il faut dans un premier temps exprimer la variation dans la table en prenant une section variable « S1″dont le cdg par rapport à Gz est: « yg(S1), puis exprimer la variation dans l’âme.
L’expression générale de ty s’exprime:
S = surface totale de la section
d = distance entres l’axe Gz’ et Gz
Pour définir « d » il faut préalablement calculer la position de G.
variation de ty dans l’âme de la poutre :
La variation de ty se traduit par une droite :
variation de ty dans l’âme de la poutre:
S1 représente la surface de la table : largeur L et hauteur h. Le centre de gravité de S1 par rapport à l’axe GZ est yg(s1).Le moment statique de (S1) par rapport à GZ est donc égal à : (S1).Yg(S1).
S2 représente la surface comprise entre la sous face de la table et une droite d’ordonnée y. S2 varie donc selon y. Le centre de gravité de (S2) est yg(S2).
Seul Mt(S2) varie en fonction de « y ».
Pour y= -YG Mt(S)/Gz de toute la section = 0(définition du CdG)
D’où ty = 0
Déformation due à l’effort tranchant
Soit γ la distorsion
δy le glissement
G le module d’élasticité transversale
S la section droite
Considérons les 2 facettes du prisme élémentaire distant de dx
δy = -γ dx car les déformations sont très petites et tanγ = γ
Pour étudier la déformation due à l’effort tranchant faisons une première hypothèse en considérant que la contrainte ty est uniforme sur toute la section S.
Nous avons vu au chapitre précédent que cette hypothèse est fausse, les contraintes varient en fonction de l’ordonnée « y », néanmoins poursuivons, dans un premier, l’analyse avec cette hypothèse « fausse ».
Si ty était uniforme nous pourrions noter cette contrainte » contrainte moyenne ».
La déformation réelle correspond à une distorsion ; l’hypothèse de Navier-Bernouilli n’est pas vérifiée. Les sections planes avant application de Ty ne restent pas planes après application de Ty.
De multiples mesures expérimentales ont permis d’établir une corrélation entre la déformation réelle et celle obtenue par le calcul en faisant l’hypothèse d’une répartition uniforme de la contrainte ty.
Cette corrélation est définie par un paramètre « α » dépendant uniquement de la géométrie de la section.
Sr est appelée section réduite tel que :
Exercice N°4:
Soit une section rectangulaire de largeur « b » et de hauteur « h ».
Etablir la valeur de la section réduite.
Nous avons établi dans l’exercice N° 1 (page 8) l’expression de la variation de ty..
Exercice N°5:
Soit un disque de rayon « R » . Calculer la valeur de la section réduite.
Nous avons établi dans l’exercice N°2 (page 11) l’expression de la contrainte ty en fonction de « y ».
On peut écrire cette expression sous la forme :
Flèche due à l’effort tranchant:
Nous avons vu au chapitre « déformation due à l’effort tranchant » que le glissement vertical entre deux sections voisines distantes de « dx » s’écrivait, en prenant hypothèse d’une répartition uniforme de la contrainte :
Le glissement « réel » doit tenir compte de la section réduite et non la section totale d’où:
Cette expression représente le glissement relatif entre 2 sections voisines distantes de » dx » ; pour obtenir la valeur du glissement entre 2 sections respectivement d’abscisse x0 et x on obtient:
Exercice N°6
Soit une poutre droite à plan moyen xAy chargée dans ce plan par une charge ponctuelle P située à mi porté. Calculer la flèche maximale due à l’effort tranchant.
Comparer la valeur de cette flèche avec celle due au moment fléchissant avec les éléments suivants:
E = 210 000 N/mm2
G = 81 000 N/mm2
H = 200 mm
I/Gz = 1943 cm4
Sr = 11.20 cm2
L = 4.00m
Sur le premier tronçon on a : Ty = P/2 et sur le second tronçon on a : Ty = P/2 – P = P/2
La formule de la flèche s’écrit :
La flèche maximale due au moment fléchissant a été établie dans le chapitre « flexion simple ». Cette valeur est :
En remplaçant dans ces expressions les différentes valeurs numériques on peut faire apparaître le rapport entre les deux flèches:
Dans le présent exercice la flèche due à l’effort tranchant est négligeable devant la flèche due au moment fléchissant.
Crédit photo : dullhunk@flickr