Rdm ch. 1 : rappel sur la mécanique des solides (partie 1)

Définition de la statique

La statique est l’étude de l’équilibre des corps supposés indéformables sous l’action des forces extérieures qui les sollicitent. Ces forces peuvent être des forces de contact ou forces à distance (gravitation..).

La résolution des problèmes de statique conduit à rechercher les valeurs des réactions d’appuis permettant de satisfaire l’hypothèse d’équilibre. Cette recherche est engagée par méthode analytique (résolutions d’équations) ou par ou méthode graphique.

Définition de la résistance des matériaux

L’hypothèse d’indéformabilité retenue dans l’étude de la statique ne traduit pas la réalité. Les solides soumis aux actions extérieures se déforment plus ou moins selon la nature des matériaux les constituant et leurs formes géométriques.

La résistance des matériaux est l’étude des déformations et contraintes internes des solides en équilibre et supposés très peu déformables.

L’objectif de la résistance des matériaux est de permettre un dimensionnement rationnel et sûr des structures (en béton armé, en acier, en bois ou autre matériaux). Pour atteindre cet objectif de nombreuses hypothèses simplificatrices sont acceptées.

L’étude fondamentale du comportement des matériaux relève de la théorie de l’élasticité dont l’analyse est plus mathématique.

Système matériel

On appelle système matériel un ensemble constitué d’un ou plusieurs composants dont on souhaite étudier l’équilibre.

Par exemple une chaîne constituée de maillons peut être décomposée en plusieurs systèmes matériels :

1. Un système « global » correspondant à l’ensemble de la chaîne ;
2. Un « sous-système » correspondant à un ou plusieurs maillons.

Les systèmes matériels sont toujours en contact avec un « environnement ». L’analyse de ces contacts est très importante car elle conduira à définir les conditions d’équilibre de l’ensemble étudié.

Dans le cas de la chaîne, l’environnement pour le système global sera constitué d’un point d’accrochage sur lequel la chaîne est suspendue. Pour le sous-système composé d’un seul maillon l’environnement sera constitué des maillons supérieurs et inférieurs en contact direct avec celui étudié.

Pour prendre un autre exemple, supposons un bâtiment constitué de fondations poteaux, planchers, charpentes… Le système matériel global est constitué par l’immeuble lui-même. Les sous systèmes sont très nombreux:

1. Eléments de charpente
2. Planchers
3. Poteaux
4. Fondations
5. Etc.

Les divers points de contact du système étudié avec son environnement sont appelés « réactions d’appuis ». Par mesure simplificatrice on admet qu’il existe dans les systèmes plans 3 types de réaction d’appui:

1. Appui simple
2. Articulation
3. Encastrement

Pour les systèmes tridimensionnels les réactions d’appui sont des combinaisons des 3 cas précédent. Les 3 types d’appui sont représentés par des symboles conventionnels suivants:

Les hachures représentent l' »environnement ». Les « ronds » sous le triangle traduisent la possibilité de déplacement longitudinal.

Les actions extérieures appliquées sur le système étudié vont bien évidemment générer, au niveau des appuis, des réactions. L’étude de l’équilibre du système consistera à définir les valeurs de ces réactions en vérifiant que la nature des appuis est compatible avec l’équilibre recherché.

Notions de force et moment de force

On appelle « force » les actions mécaniques entres solides, ces actions peuvent être des forces de contact ou des forces à distance. Les forces de contact sont principalement les réactions d’appuis, les forces à distance sont essentiellement les actions de la pesanteur. Dans l’étude des structures de bâtiment les forces de pesanteur sont très nombreuses (poids propre des ouvrages, charges d’exploitation…). Les forces dues aux variations de température constituent également des forces à distance.

Les forces sont représentées par des « vecteurs glissants », elles sont donc définies par une direction, un sens et un module.

De plus :

• L’unité légale est le « Newton » symbole « N » ;
• Les multiples sont daN = 10 N, MN = 10⁶ N ;
• Le newton correspond à la force générée par une masse de 1 Kg soumise à une accélération de 1 m.s^-2 ;
• A la surface de la terre l’accélération est de 9.81 m.s^-2;
• Une masse de 1 Kg génère donc une force (poids) de 9.81N ≠ 1 daN.

Le point « M » correspond à l’intersection de la direction de la force avec le solide. La force « F » peut donc être représentée de plusieurs manières puisqu’il s’agit d’un vecteur glissant. La solution la plus courante consiste à représenter les forces au contact du solide étudié.

Les forces peuvent se décomposer par projections sur un système d’axes.

Y et Z sont les projections de la force sur le système d’axes yOz.

Y = F sinθ  et Z = F cosθ

Le moment d’une force par rapport à un point est égal au produit vectoriel du vecteur distance par le vecteur force.

• Soit le repère orthonormé xyz ;
• Soit la force F située dans le plan xOy , B est l’origine de cette force ;
• Soit A un point quelconque situé dans le plan xOy.

S’agissant d’un produit vectoriel de 2 vecteurs situés dans le plan xOy, le produit est porté perpendiculairement au plan xOy c’est-à-dire parrallement à l’axe « z ». Pour connaître le sens du vecteur moment on peut utiliser la règle des « 3 doigts » ou la règle du « tire-bouchon ».

Règle des « 3 doigts »

Avec la main gauche (ce qui permet aux droitiers de conserver les doigts en position et écrire de la main droite) :

 

• Le majeur selon l’orientation de A vers B ;
• L’index selon l’orientation de la force ;
• Le pouce donne le sens du vecteur moment (dans le cas présent direction de z positif).

Règle du « tire-bouchon »

• La rotation est assimilée à l’effet d’un tire-bouchon ;
• Si le tire-bouchon « s’enfonce », le moment est porté par les z < 0 ;
• Si le tire-bouchon « vient vers vous », le moment est porté par les z > 0.

En pratique on utile également une méthode appelée « sens conventionnel ». On choisit un sens conventionnel positif puis l’on exprime les moments de toutes les forces par rapport à ce sens. Nous reviendrons sur cette méthode dans l’étude des différents exemples.

Équations fondamentales de la statique

Nous avons vu précédement qu’il existait, dans les « systèmes plan » 3 types d’appuis : appui simple, articulation et encastrement. Chaque type d’appui par sa conception permet ou interdit les déplacements et rotations.

Si nous prenons un point matériel libre dans l’espace, ce point peut se déplacer dans toutes les directions, nous dirons qu’il est entièrement libre. Cette liberté de mouvement correspond à 6 degrés de liberté; 3 translations selon les axes x, y, z et 3 rotations autour des axes Ox, Oy, Oz.

Dans les systèmes plans le nombre de degrés de liberté se réduit à 3 :

• 2 translations selon les axes Ox et Oy ;
• 1 rotation autour de l’axe Oz.

Un appui, par sa conception, peut bloquer un ou plusieurs degrés de liberté. Le blocage d’un degré de liberté se traduit par la création d’une « réaction » : force ou moment.

Analysons chaque type d’appuis dans le cas des systèmes plans :

1. L’appui simple, librement déplaçable longitudinalement, offre 2 degrés de liberté : déplacement selon l’axe horizontal Ox et rotation selon l’axe Oz. Ce type d’appui présente donc un degré bloqué selon l’axe vertical Oy. La réaction correspondante à ce blocage se traduit par une force que nous appellerons  » V  » (réaction verticale).
2. L’articulation offre 1 degré de liberté : rotation autour de l’axe Oz. Ce type d’appui présente donc 2 degrés bloqués selon les axes Ox et Oy. Les réactions correspondantes à ces 2 blocages se traduisent par des forces que nous appellerons « H »(réaction horizontale) et « V » réaction verticale.
3. L’encastrement n’offre aucun degré de liberté, tous les mouvement sont bloqués.

Les réactions correspondantes à ces 3 blocages se traduisent par 1 moment d’encastrement « M » et 2 réactions « H » et « V ». Les réactions M, H, V sont appelées « réactions d’appuis » et constituent les inconnues qu’il faudra déterminer pour vérifier l’état d’équilibre.

Un système matériel est en équilibre si, simultanément la somme des actions et réactions sur le système est nulle, et la somme des moments de ces actions et réactions, par rapport à un point quelconque est également nulle. Ces 2 conditions traduisent le principe fondamental de la statique.

Détermination des réactions d’appuis par la  méthode analytique

Dans les systèmes plans les actions et réactions peuvent être décomposées selon leurs projections sur les axes Ox et Oy ainsi nous faisons apparaître 3 équations :

1. Somme des projections des actions et réactions sur l’axe Ox = 0 ;
2. Somme des projections des actions et réactions sur l’axe Oy = 0 ;
3. Somme des moments des actions et réactions par rapport à un point quelconque = 0.

Ces 3 équations sont appelées équations fondamentales de la statique. La résolution de ces équations permet de définir les valeurs des réactions à condition que le nombre d’inconnues ne soit pas supérieur au nombre d’équation. Si le nombre d’inconnues est supérieure au nombre d’équation il faudra établir des équations complémentaires à partir de considérations de déformations. Cette étude sera abordée dans un autre cours.

Suite : rdm ch. 1 : rappel sur la mécanique des solides (partie 2)

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