Introduction
Dans le présent chapitre nous étudierons les contraintes tangentielles tY, tZ dues aux efforts tranchants TY et TZ dans les sections droites des poutres à plan moyen chargées dans ce plan. Les contraintes tangentielles dues au moment de torsion MtX seront étudiées dans un chapitre ultérieur. Dans les articles précédents nous avons étudié les contraintes normales dues à l’effort normal « N » et aux moments fléchissant MtZ, MtY.
On se place dans une section de poutre en équilibre. Nous avons établi les relations entres les composantes du vecteur contrainte appliqué en « M » et les éléments de réduction du torseur des forces de gauche :
Le théorème de Cauchy
Considérons un prisme élémentaire à l’intérieur d’une poutre soumise à des charges verticales. Le volume de ce prisme est défini par dx, dy, dz. Prenons par hypothèse dz. = 1. Les faces du prisme sont soit parallèles, soit perpendiculaires à la direction verticale des forces.
Chaque facette du prisme est soumise à une contrainte qui se projette sur les axes X et Y par une composante normale « n » et une composante tangentielle « t ». Le prisme est en équilibre les contraintes sur les facettes sont donc opposées.
Puisque le prisme est en équilibre nous pouvons écrire les équations fondamentales de la statique:
Nous pouvons négliger les termes de deuxième ordre dn x dy devant les termes de premier ordre ; nous obtenons:
Exprimons la somme des moments par rapport au point « o » est nulle car il y a équilibre :
Remplaçons ( t4) par (t1) et ( t3) par (t2) :
Nous obtenons :
Les contraintes t1 et t2 sont donc opposées par leurs origines.
Expression de la contrainte tangentielle
Considérons un tronçon élémentaire de la poutre définie par 2 sections droites distantes de dx. Isolons sur ce tronçon le volume compris entre un plan horizontal a a’ b b’ et la partie supérieure de la poutre. Le volume correspondant présente la forme d’une « calotte » (voir schéma ci-dessous) :
Dans un premier temps étudions l’équilibre du tronçon.
Par hypothèse aucune charge n’est appliquée entre les 2 sections S et S’.
Etudions maintenant l’équilibre de la calotte.
Les deux surfaces grises représentant une section « ε » sont soumises à des contraintes normales dues au moment fléchissant et contraintes tangentielles dues à l’effort tranchant
D’après « Cauchy » la contrainte tangentielle selon l’axe « y » a même valeur que la contrainte dans le plan de coupe horizontal orienté selon « x ».
Exprimons les contraintes sur les surfaces grises et sur la surface aa’bb’ :
Suite : rdm : l’effort tranchant (2)
Crédit photo : SAW_00_