Définition
Une section droite est soumise à une sollicitation de compression traction si les éléments de réduction du torseur de « gauche » se réduisent uniquement à N ≠ 0.
Par hypothèse les axes Gy, Gz sont axes principaux d’inertie.
Hypothèse de Navier -Bernouilli
Cette hypothèse propose de retenir que les sections droites, après application des charges extérieures, se déforment mais restent planes.
La déformation de la section peut se décomposer en translation et rotation.
Cette hypothèse permet de retenir que les allongements et raccourcissements traduisant la déformation de la section, représente le déplacement d’un plan.
Loi de Hooke
La loi de Hooke définit le domaine élastique et permet d’écrire une relation linéaire entre les contraintes et déformations dans un élément « ds » de la section droite étudiée.
Soit « E » le module d’élasticité longitudinale, et « i » le déplacement relatif.
« i » représente l’allongement ou le raccourcissement de « ds » par rapport à la longueur de la pièce avant déformation.
Expression de la contrainte due à N
Le principe de Navier Bernouilli et la loi de Hooke permettent d’écrire que la section déformée constitue un plan, c’est-à-dire l’équation d’une surface, et que la fonction représentant la variation de la contrainte est liée à ce plan.
Recherchons les valeurs A, B, C :
Dans le chapitre précèdent (théorie des poutres) nous avons établi les relations suivantes
Par définition en compression traction, seul N≠ 0
Remplaçons la valeur de « n » dans les expressions de Mty, Mtz et N
Donc
Par ailleurs Mty =0
Donc
Par ailleurs Mtz =0
Donc
Remplaçons les valeurs de A, B et C dans l’équation initiale
Cette expression représente la contrainte normale sur une surface élémentaire ds due à l’effort normal « N » appliqué au centre de gravité de la section « S ».
On peut retenir que « n » est constant sur toute la surface.
Si N est orienté vers les « x » positifs, alors « n » sera une contrainte de traction.
Si N est orienté vers les « x » négatifs, alors « n » sera une contrainte de compression.
Expression de la déformation due à N
Selon la loi de Hooke il existe une relation linéaire entre contrainte et déformation. Nous pouvons donc exprimer la contrainte selon les 2 expressions suivantes:
Par convention nous retiendrons que les allongements sont positifs et les raccourcissements négatifs.
E représente le module d’élasticité longitudinal
i représente la variation relative de longueur, c’est-à-dire le rapport entre l’allongement ou le raccourcissement « ΔL » entre 2 sections infiniment proches l’une de l’autre et la longueur initiale de la pièce entre son origine et la section « S » étudiée.
D’où
Où encore
Cette expression représente la variation de longueur d’une pièce de longueur L soumise à un effort normal N.
Exercice 1
Déterminer l’allongement d’une pièce suspendue, de section constante, de masse volumique γ et soumise uniquement à son propre poids.
Considérons un tronçon de longueur « x », le poids de ce tronçon est = Sxγ. L’allongement du tronçon est :
Faisons varier « x » de « dx », l’accroissement de l’allongement est =d (Δx). L’augmentation de poids est = γ.S.dx
Si l’on veut obtenir l’allongement total de la barre ( ΔL) il faut faire la somme des variations élémentaire pour x compris entre 0 et L:
Exercice 2
Soit un câble de 500m de longueur qui suspend verticalement une cabine de 2000 daN.
Calculer l’allongement du câble avec les valeurs numériques suivantes:
E=2,10 106 γ = 7,8 10-3 daN/cm2 d = 20 mm
E: module d’élasticité du câble
γ = masse volumique du câble
d = diamètre du câble
- Allongement dû au poids propre du câble
Selon l’expression établie dans l’exercice N°1
- Allongement dû au poids de la cabine
L’allongement total est égal à 4,64+15,16 = 19,8 cm
Remarques sur pièces soumises à la compression-traction
1/ Lorsqu’une pièce de grande longueur et de petite section est soumise à un effort normal de compression un phénomène de flambement risque d’apparaître.
L’étude du flambement fait partie du programme de la 2 eme année.
Nous retiendrons que le risque de flambement apparaît lorsque la plus petite dimension de la section est inférieure à 10 fois la longueur de la pièce.
2 / Les pièces soumises à la compression ou traction subissent des variations dimensionnelles latérales
La variation latérale est exprimée par Elat
Il existe une relation entre les variations longitudinales et transversales :
Ce rapport est appelé coefficient de poisson.
Pour un matériau donné le coefficient de Poisson est constant:
γ = 0.3 pour les métaux
γ = 0.15 pour le béton
3 / Les contraintes normales auxquelles sont soumises les sections, d’après les calculs établis selon les méthodes vues précédemment, doivent être comparées aux valeurs limites fixées soit par un cahier des charges soit par application d’un règlement.
4 / A proximité des points de contact d’application des forces les contraintes ne sont pas réparties uniformément, il apparaît des concentrations de contraintes, nous nous situons en dehors de l’hypothèse de Barré de St Venant. Ce même phénomène de concentration apparaît au droit des variations brutales de section. Différentes expérimentations ont permis d’établir des coefficients correcteurs pour tenir compte de ces concentrations. Ces coefficients »K » sont directement appliqués sur la valeur de la contrainte normale obtenue par le calcul simplifié. Ce coefficient peut conduire à de très fortes majorations, compris entre 1 et 3.
Exercice 3 (TD)
Soit un solide de révolution supportant une charge concentré « P « .Le rayon en partie supérieure est : r0, la masse volumique est : γd .la hauteur : h. Le poids total du solide est « Q ». Déterminer la variation du rayon « r » de ce solide en fonction de sa hauteur de manière que la contrainte de compression soit constante sur toute la hauteur.
Si nous voulons que la contrainte normale soit constante dans toutes les sections droites des solides, nous pouvons écrire :
Donc
Par ailleurs
En remplacent ces valeurs dans l’équation précédente nous obtenons:
C : est la constante d’intégration. Les conditions limites sont : r = r0 pour x = 0. D’où C = 2 Ln r0.
Application numérique: r0 = 1,457 m r1 = 1,765m
Exercice 4 (TD)
Reprendre l’exercice N°4 traité dans le chapitre « théorie de des poutres ». Exprimer les contraintes dues à l’effort normal le long de la structure. On prendra comme hypothèse que la section est constante sur toute la pièce. Commenter les résultats.
Exercice 5 (TD)
Soit une structure constituée de 2 câbles contenus dans le même plan à l’extrémité de laquelle une charge de 500 KN est suspendue.
E =2,1 106 daN/cm2
N maxi = 2100 daN/cm2
Calculer la section des câbles AB-CB et le déplacement du point B.
Crédit photo : super-structure @ flickr